扑克牌两人随机抽牌求和;扑克牌随机抽样方法

扑克牌两人随机抽牌求和;扑克牌随机抽样方法

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扑克牌两人随机抽牌求和涉及从一副标准扑克牌（52张，无大小王）中随机抽取两张牌，分别计算每张牌的点数，然后求和。以下是详细的随机抽样方法和求和分析。

一、扑克牌随机抽样方法

扑克牌随机抽样旨在确保每张牌被抽中的概率相等。常用方法包括：

1. 物理洗牌：通过手工洗牌（如 riffle shuffle、overhand shuffle）将牌彻底打乱，使得牌序随机化。

扑克牌两人随机抽牌求和;扑克牌随机抽样方法

2. 随机抽牌：从洗好的牌堆中，两人依次各抽一张牌（不放回抽样），或从牌堆中随机位置抽取两张牌。

3. 计算机模拟：使用随机数生成器模拟抽牌过程。例如，在编程中，可以将52张牌编号，生成随机索引来选取牌。

在数学上，从52张牌中随机抽两张牌（不放回），总可能组合为 \\(\\binom{52}{2} = 1326\\) 种。每张牌被抽中的初始概率为 \\(1/52\\)，第二张牌的概率为 \\(1/51\\)。

二、扑克牌点数定义

在求和时，需要将扑克牌转换为点数：

  • Ace (A) 视为 1 点（在某些游戏中可视为11，但此处为简化设为1）。
  • 数字牌 2-10 对应 对应其面值。
  • Jack (J)、Queen (Q)、King (K) 视为 视为 10 点。

    • 点数分布如下：

  • 点数 1：4 张（A）
  • 点数 2：4 张
  • 点数 3：4 张
  • 点数 4：4 张
  • 点数 5：4 张
  • 点数 6：4 张
  • 点数 7：4 张
  • 点数 8：4 张
  • 点数 9：4 张
  • 点数 10：16 张（10, J, Q, K）

    • 三、两人抽牌求和

    设两人各抽一张牌，点数分别为 \\(X\\) 和 \\(Y\\)，和 \\(S = X + Y\\)。由于是不放回抽样，\\(X\\) 和 \\(和 \\(Y\\) 不是独立同分布。

    1. 期望值计算

    单张牌的点数期望 \\(E[Z]\\) 为：

    \\[

    E[Z] = \\sum_{z=1}^{10} z \\cdot P(Z=z) = \\frac{1}{13}(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 10 \\cdot \\frac{4}{13} = \\frac{45}{13} + \\frac{40}{13} = \\frac{85}{13} \\approx 6.5385

    \\]

    两点数之和的期望：

    \\[

    E[S] = E[X] + E[Y] = 2 \

    imes \\frac{85}{13} = \\frac{170}{13} \\approx 13.0769

    \\]

    2. 概率分布

    点数和 \\(S\\) 的范围为 2 到 20。概率 \\(P(S=k)\\) 可通过计算点数和为 \\(k\\) 的牌组合数除以总组合数（1326）得到。以下是关键点的概率：

  • \\(S=2\\)：只有两张 A，概率 \\(P(S=2) = \\frac{\\binom{4}{2}}{1326} = \\frac{6}{1326} \\approx 0.0045\\)
  • \\(S=3\\)：一张 A 和一张 2，概率 \\(P(S=3) = \\frac{4 \ imes 4}{1326} = \\frac{16}{1326} \\approx 0.0121\\)
  • \\(S=20\\)：两张点数 10 的牌，概率 \\(P(S=20) = \\frac{\\binom{16}{2}}{1326} = \\frac{120}{1326} \\approx 0.0905\\)

    • 点数和的概率分布大致对称，但由于点数 10 的牌较多，和為 11 至 20 的概率较高。具体概率表如下（简化）：

    | 和 \\(和 \\(S\\) | 概率 \\(P(S=k)\\) | 近似概率 |

    |-||--|

    | 2 | 6/1326 | 0.0045 |

    | 3 | 16/1326 | 0.0121 |

    | 4 | 22/1326 | 0.0166 |

    | 5 | 28/1326 | 0.0211 |

    | 6 | 34/1326 | 0.0256 |

    | 7 | 40/1326 | 0.0302 |

    | 8 | 46/1326 | 0.0347 |

    | 9 | 52/1326 | 0.0392 |

    | 10 | 58/1326 | 0.0437 |

    | 11 | 64/1326 | 0.0483 |

    | 12 | 70/1326 | 0.0528 |

    | 13 | 76/1326 | 0.0573 |

    | 14 | 82/1326 | 0.0618 |

    | 15 | 88/1326 | 0.0664 |

    GG扑克

    | 16 | 94/1326 | 0.0709 |

    | 17 | 100/1326 | 0.0754 |

    | 18 | 106/1326 | 0.0799 |

    | 19 | 112/1326 | 0.0845 |

    | 20 | 120/1326 | 0.0905 |

    四、应用与注意事项

  • 这种求和常用于扑克游戏（如21点）或概率计算中。
  • 如果抽牌后放回，则 \\(X\\) 和 \\(Y\\) 独立，期望值不变，但方差不同。
  • 在实际游戏中，Ace 可能被视为 1 或 11，但本分析中统一为 1 点以简化计算。

    • 如有具体游戏规则或进一步需求，可调整点数定义后重新计算。

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